2015年高考文科数学试题预测卷

一、选择题

（1） 的值为

(A) (B) (C) (D)

(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集 ，则集合 中的元素共有

(A)3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

（3）不等式 的解集为

（A） （B）

（C） （D）

（4）已知tan =4,cot = ,则tan(a+ )=

(A) (B) (C) (D)

（5）设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于

（A） （B）2    （C） （D）

（6）已知函数 的反函数为 ，则

（A）0  （B）1    （C）2      （D）4

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种  （B）180种    （C）300种    （D）345种

（8）设非零向量 、 、 满足 ，则

（A）150°  （B）120°   （C）60°   （D）30°

（9）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为

(A) (B) (C) (D)

(10)如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为

(A) (B) (C) (D)

（11）已知二面角 为600，动点p、Q分别在面 内，p到 的距离为 ，Q到 的距离为 ，则p、Q两点之间距离的最小值为

(A) (B)2    (C) (D)3

（12）已知椭圆 的右焦点为F,右准线 ，点 ，线段AF交C于点B。若 ,则 =

(A) (B)2    (C) (D)3

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效）

（13） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于_____________.

（14）设等差数列 的前 项和为 。若 ，则 _______________.

(15)已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆 的面积为 ，则球 的表面积等于__________________.

（16）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则 的倾斜角可以是

① ② ③ ④ ⑤

其中正确答案的序号是         .（写出所有正确答案的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分10分)

设等差数列{ }的前 项和为 ，公比是正数的等比数列{ }的前 项和为 ，已知 的通项公式.

(18)(本小题满分12分)

在 中，内角 的对边长分别为 .已知 ，且 ，求 .

(19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ，点 在侧棱 上，

（Ⅰ）证明： 是侧棱 的中点；

（Ⅱ）求二面角 的大小。（同理18）

(20)（本小题满分12分）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

（21）（本小题满分12分）

已知函数 .

（Ⅰ）讨论 的单调性；

（Ⅱ）设点p在曲线 上，若该曲线在点p处的切线 通过坐标原点，求 的方程

(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线 与圆 相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求 的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点p的坐标。

【答案】

一、选择题

1、【解析】解： ，故选择A。

2、解： ， 故选A。也可用摩根定律：

3、解： ，故选择D。

4、解：由题 ， ，故选择B。

5、解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，因渐近线与抛物线相切，所以 ，即 ，故选择C。

6、解：由题令 得 ，即 ，又 ，所以 ，故选择C。

7、由题共有 ，故选择D。

8、解：由向量加法的平行四边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻边，且 、 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。

9、解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D

10、解: 函数 的图像关于点 中心对称

由此易得 .故选A

11、解:如图分别作

，连

，

又

当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。

12、解：过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A

二、填空题：

13、因 所以有

14、 是等差数列,由 ,得

。

15、设球半径为 ，圆M的半径为 ，则 ，即 由题得 ，所以 。

16解：两平行线间的距离为 ，由图知直线 与 的夹角为 ， 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写①或⑤

三．解答题：

17、解：设 的公差为 ，数列 的公比为 ，

由 得 ① 得 ②

由①②及 解得 故所求的通项公式为 。

18、解：由余弦定理得 ，

又 ， ， 即 ①

由正弦定理得 又由已知得

，     所以 ②    故由①②解得

19、解法一：

（I）作 ∥ 交 于点E，则 ∥ ， 平面SAD

连接AE，则四边形ABME为直角梯形

作 ，垂足为F，则AFME为矩形

设 ，则 ，

由

解得 即 ，从而

所以 为侧棱 的中点

（Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

，故

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角

连接 ，在 中，

所以 二面角 的大小为

解法二:

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz

设 ，则

（Ⅰ）设 ,则

又

故

即

解得 ，即 所以M为侧棱SC的中点

（II）  由 ，得AM的中点

又

所以

因此 等于二面角 的平面角

所以二面角 的大小为

20、解：记“第 局甲获胜”为事件 ，“第 局乙获胜”为事件 。

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则 ，

由于各局比赛结果相互独立，故

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

，由于各局比赛结果相互独立，故

21、解：（Ⅰ）

令 得 或 ；  令 得 或

因此， 在区间 和 为增函数；在区间 和 为减函数。

（Ⅱ）设点 ，由 过原点知， 的方程为 ，

因此 ，  即 ，

整理得 ， 解得 或

因此切线 的方程为 或

22、解：（Ⅰ）将抛物线 代入圆 的方程，消去 ，

整理得 ①

与 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根

由此得

解得 又 所以 的取值范围是

（II） 设四个交点的坐标分别为 、 、 、 。

则由（I）根据韦达定理有 ，

则

令 ，则 下面求 的最大值。

方法1：由三次均值有：

当且仅当 ，即 时取最大值。经检验此时 满足题意。

方法2：设四个交点的坐标分别为 、 、 、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点p的坐标为 。

设 ，由 及（Ⅰ）得

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则

将 ， 代入上式，并令 ，得

，

∴ ，

令 得 ，或 （舍去）

当 时， ；当 时 ；当 时，

故当且仅当 时， 有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点p的坐标为

第1页(高考真题)