2015年高考理科数学试题预测卷

参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．

如果事件 、 互斥，那么 ．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式， ， ．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、 是虚数单位， （      ）

A． B． C． D．

2、函数 的定义域为实数集 ，“ 是奇函数”是“ 是偶函数”的（      ）

A．充分非必要条件           B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件         D．充要条件

3、 是等差数列， 与 的等差中项为1， 与 的等差中项为2，则公差 （      ）

A． B． C． D．

4、函数 在区间 上单调递增，常数 的值可能是（      ）

A． B． C． D．

5、双曲线 ： 的两条渐近线夹角（锐角）为 ，则 （      ）

A． B． C． D．

6、一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1

的等腰直角三角形，则它的体积 （      ）

A． B． C． D．

7、 的二项展开式17个项中，整式的个数是（      ）

A． B． C． D．

8、设 ，集合 ， ，记“从集合 中任取一个元素 ， ”为事件 ，“从集合 中任取一个元素 ， ”为事件 ．给定下列三个命题：

①当 ， 时， ；

②若 ，则 ， ；

③ 恒成立．

其中，为真命题的是（      ）

A．①②    B．①③    C．②③    D．①②③

二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分．

(一)必做题（9～13题）

9．不等式 的解集为      ．

10．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上一点，若 在第一象限， ，

则点 的坐标为      ．

11．若变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值 ．

12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果 ．

13．已知 与 之间的几组数据如下表：

	3	4	5	6
	2.5	3	4	4.5

假设根据上表数据所得线性回归方程为 ，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为 ，则 ， ．（填“ ”或“ ”）

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 上到直线 的距离为1的点的个数是        ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 的弦 、 相交于点 ，若 ， ，则 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知 顶点的直角坐标分别是 、 、 ．

⑴求 的值；

⑵若 ，证明： 、 、 三点共线．

17．（本小题满分13分）

某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位： ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：

组距	频数	频率
[100，102)	17	0.17
[102，104)	18	0.18
[104，106)	24	0.24
[106，108)
[108，110)	6	0.06
[110，112)	3	0.03
合计	100	1

⑴求上表中 、 的值；

⑵估计该基地榕树树苗平均高度；

⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有 株，求 的分布列和期望．

18．（本小题满分14分）

设数列 的前 项和 ， ．

⑴求 的值；

⑵求数列 的通项公式；

⑶证明：对一切正整数 ，有 ．

19．（本小题满分13分）

如图4，直四棱柱 的底面是菱形，侧面是正方形， ， 是棱 的延长线上一点，经过点 、 、 的平面交棱 于点 ， ．

⑴求证：平面 平面 ；

⑵求二面角 的平面角的余弦值．

20．（本小题满分14分）

平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的离心率为 ，焦点为 、 ，

直线 ： 经过焦点 ，并与 相交于 、 两点．

⑴求 的方程；

⑵在 上是否存在 、 两点，满足 ， ？若存在，求直线 的方程；

若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数 ， 是自然对数的底数， ， 为常数．

⑴若 在 处的切线 的斜率为 ，求 的值；

⑵在⑴的条件下，证明切线 与曲线 在区间 至少有1个公共点；

⑶若 是 的一个单调区间，求 的取值范围．

评分参考答案

一、选择题  BACD DCBB

二、填空题  ⒐ 或 （每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）

⒑ （若写成 或 给3分，其他不给分）

⒒ ⒓ ⒔ ， （若两空一对一错，给3分）    ⒕ ⒖

三、解答题

⒗⑴（方法一） ， ， ……3分

……6分（公式2分）

（方法二） ， ……2分

……6分（公式2分）

⑵（方法一） ， ……9分

∵ ，∴ 、 共线……11分

∵ 、 有共同的始点，∴ 、 、 三点共线……12分

（方法二）经过 、 两点的直线 的方程为

（即 ）……9分

设 ，由 得 ……10分

解得 ……11分

∵ （或 ），∴( 在 上) 、 、 三点共线……12分

⒘⑴ ， ……2分

⑵估计该基地榕树树苗平均高度为

( )……6分

（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）

⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此 的所有可能取值为0，1，2，3……7分

， ，

，

……11分

	0	1	2	3

的分布列为

……12分

的期望为 ……13分（列式正确1分）

⒙⑴ ……1分

⑵ 时，

……4分（上式每个等号1分）

时， ，所以 ， ……5分

⑶由⑵知， 时， ……7分

……9分

……11分

……12分， ……13分

∵ 单调递增，∴ ， ……14分

⒚⑴设四棱柱 的棱长为

∵ ， ∽ ，∴ ……1分

由 ， ，得 ， ……2分

∵ ，∴ ， ……3分

是直四棱柱， ，又 ，∴ ，∵ ，∴ 平面 ……4分

∵ 平面 ，∴平面 平面 ……5分

⑵（方法一）过 作 于 ， 于 ，连接 ……6分

由平面 平面 ，平面 平面 ，

平面 ……7分

∴ ，又 ， ，∴ 平面 ， ， 是二面角 的平面角……9分

在 中， ， ， ， ，在 中， ， ， ， （ 、 求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分

， ……13分

（方法二）以 为原点， 、 所在直线为 轴、 轴，平行于 的直线 为 轴建立空间直角坐标系……6分，则

， ， ……7分

设平面 的一个法向量为 ，则 ……9分，即 ，不妨取 ……10分，由⑴知 ， ……11分，平面 的一个法向量为

……12分，二面角 的平面角的余弦值 ……13分

⒛⑴依题意 ， ……2分，由 得 ……3分

，椭圆 的方程为 ……4分

⑵（方法一）若存在满足条件的直线 ，∵ ，∴ ，设直线 的方程为 ……5分

由 ……6分，得 ……7分

， （*）

……8分

设 ， ，则 ， ……9分

由已知 ，若线段 的中点为 ，则 ， ……10分

， 即 ……11分

由 ……12分，解得 ……13分

时， ，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线

……14分

（方法二）假设存在 ， ，线段 的中点为 ，则 ， ……5分

由 两式相减得：

……7分，代入、化简得： ①……8分

由已知 ，则 ， ……9分

由 得， ②……10分

由①②解得 ，即 ……11分

直线CD的方程为： ……12分

联立 得 ……13分

∵ ，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线

……14分

21．⑴ ……1分

依题意， ，解得 ……2分

⑵由⑴ ，直线 的方程为 ，即 ……3分

作 ，

则 ……4分， ……5分（用其他适当的数替代 亦可）

因为 在 上是连续不断的曲线， ， 在 内有零点， ，从而切线 与曲线 在区间 至少有1个公共点……6分

⑶ ， 是 的一个单调区间当且仅当 在 上恒大于等于零，或恒小于等于零，由 ，作

，由 得 ……7分

	－	0	+
	↘	最小值	↗

……9分

在 上的最小值为 ，所以，当且仅当 时， 在 上单调递增……11分

下面比较 与 的大小

（方法一）由 ， ， 以及 在 上单调递减得 ……12分

……13分

，

∴ ，当且仅当 时， 在 上单调递减，综上所述， 的取值范围为 ……14分

（方法二）由 ， ，以及 的单调性知， ……12分

由 知， 单调递减……13分

由 得 ， ， ，∴ ，当且仅当 时， 在 上单调递减，综上所述， 的取值范围为 ……14分

（“单调递增……11分”以下，若直接写 ，再给1分）